高等数学（二）·三色考点

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精研三色考点二十条 《高等数学（二）》 专科起点升本科 1.函数极限四则运算法则 如果有    0 0 lim lim x x x x f x A g x B    ， ，则 （1）        0 0 0 lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x A B        ［ ］ . （2）        0 0 0 lim lim limx x x x x x f x g x f x g x A B    ［ ］ . （3）        lim lim 0 lim ) x x x x x x f xf x A B g x g x B      （ . （4）    lim lim 0 . m nm m m m n nx x n n a m n b P x a x a x a m n Q x b x b x b m n                   ， ， ， ＞ ， ， ＜ 2.常用的等价无穷小代换和两个重要极限 常用的等价无穷小： 当0x  时 ，  sin ln 1 arcsin arctan e 1 tanx x x x x x x ～ ～ ～ ～ ～ ～ ，  1 cos , 1 1 x x x x     2 ～ ～ （ 为实常数，0   ）. 两个重要极限：0 sin lim 1 x x x  ；1 lim 1 e x x x         . 3.导数的定义 函数  y f x 在点x0 处的导数可表示为：      0 0 lim x x f x f x f x x x     0 . 4.函数在一点可导的充要条件 函数  y f x 在点x0 处可导的充要条件是  f x 在点x0 处的左、右导数都存在且相等， 即      f x A f x f x A       0 0 0 . 5.可导和连续的关系 若函数  y f x 在点x0 处可导，则函数 y f x 在点x0 处必连续；反之不一定成立， 即函数  y f x 在点x0 处连续，它在该点不一定可导. 6.导数的四则运算 设函数    ,u u x v v x  可导，则 （1）  u v u v      . （2）    ,uv u v uv ku ku        （k 为常数）. （3）u u v uv v v         2 （0v  ）. 7.基本初等函数的导数公式  0c   （c 为 常 数 ） ；  x x       ；    ln , e ex x x x a a a    ；    1 1 log , ln ln a x x x a x     ；  sin cosx x  ；  cos sinx x   ；  tan sec cos x x x    2 ；  cot csc sin x x x      2 2 ；  arcsin 1 x x    2 ；  arccos 1 x x     2 ；  arctan 1 x x    2 ；  arccot 1 x x     2 . 8.复合函数的求导法则 设    y f u u g x ， 复合成  y f g x ［ ］ ，若  u g x 在点x 处可导，  y f u 在相应点  u g x 可导，则复合函数  y f g x ［ ］ 在点x 处可导，且有链式法则    dy dy du f u g x dx du dx     . 9.函数单调性的判定 设  y f x 在,a b［ ］ 上连续，在  ,a b 内可导. （1）若对于任意的  ,x a b ，有  0f x ＞ ，则  y f x 在,a b［ ］ 上为单调增加的 函数. （2）若对于任意的  ,x a b ，有  0f x  ，则  y f x 在,a b［ ］ 上为单调减少的 函数. 10.函数取得极值的充分条件 第一种充分条件：设函数  y f x 在点x0 的某一邻域内可导，且  0 0f x  （或在点 4x0 处)(xf  不存在）.若在此邻域内： （1）当0x x＜ 时，  0f x ＞ ，而当0x x 时，0)(  xf ，则  f x 在点x0 处取得极 大值  0f x . （2）当0x x＜ 时，  0f x  ，而当0x x 时，  0f x  ，则  f x 在点x0 处取得极 小值  0f x . 若当0x x＜ 与0x x 时，)(xf  不改变符号，则  f x 在点x0 处不取得极值. 第二种充分条件：设函数  y f x 在点x0 处二阶可导，且    0 00, 0f x f x    .若 （1）  0 0f x ＜ ，则  f x 在点x0 处取得极大值  0f x . （2）  0 0f x ＞ ，则  f x 在点x0 处取得极小值  0f x . （3）  0 0f x  ，则函数  f x 在点x0 处可能取得极值，也可能不取得极值，这时需 要用第一种充分条件判定. 11.最大值与最小值的求法 （1）求出  f x 在( ),a b 内的所有驻点、导数不存在的点. （2）求出上述各点及区间两个端点,x a x b  处的函数值. （3）进行比较，其中最大的数值即为  f x 在,a b［ ］ 上的最大值，而其中最小的数值 即为  f x 在,a b［ ］ 上的最小值. 12.曲线凹凸性及拐点的判定 设函数  y f x 在,a b［ ］ 上连续，在( ),a b 内二阶可导. （1）若在( ),a b 内有  0f x ＞ ，则曲线  y f x 在( ),a b 内为凹的. （2）若在( ),a b 内有  0f x ＜ ，则曲线  y f x 在( ),a b 内为凸的. 求出使二阶导数等于零的点，以及二阶导数不存在的点，如果  f x 在x0 的两侧异号， 则    x f x0 0， 为曲线弧  y f x 的拐点. 13.第一换元积分法（凑微分法） 设  f u 具有原函数    F u u x  ， 可导，则有换元公式              f x x dx f x d x f u du F u C F x C              ［ ］ ［ ］ ［ ］ . 第一换元积分法六字口诀“换元—积分—还原”. 14.第二换元积分法 设  x t   是 单 调 可 导 函 数 ， 又 已 知    f t t   ［ ］ 具 有 原 函 数  t ， 则  1 x   ［ ］ 是  f x 的原函数. 即          f x dx f t t dt t C x C              ［ ］ ［ ］ . 其 中  1 x   是  x t   的反函数. 15.分部积分法 设函数    u u x v v x ， 具有连续的导函数，则有udv u v vdu   . 利用分部积分法的关键在于选择适当的u 和dv .一般来说，需要按照下列步骤进行：先 要考虑dv ，要便于求出原函数v ；再考虑利用分部积分公式后，vdu 比udv 便于计算. 16.牛顿-莱布尼茨公式 设函数  f x 在区间,a b［ ］ 上连续，  F x 是 f x 的一个原函数，则        b a b f x dx F x F b F a a    . 17.定积分的应用 （1）平面图形的面积 由曲线  y f x ，直线  ,x a x b a b  ＜ 及x 轴所围图形面积为  b a S f x dx ｜ ｜ . 由两曲线          2 2 1y f x y f x f x f x 1 ， ＞ 及两直线 ,x a x b a b  ＜ 所围图 形的面积为    2 1 b a S f x f x dx ［ ］ . （2）旋转体的体积 由 曲 线 段  ,y f x x a b ， ［ ］ 绕x 轴 旋 转 一 周 所 成 的 旋 转 体 的 体 积 为  b a V f x dx    2 . 上述体积公式也可以看做由曲线  y f x ，直线  x a x b a b ， ＜ 及x 轴所围成的 平面图形绕 x 轴旋转一周所成的体积. 18.全微分 若  ,z f x y 在点  ,x y0 0 处可微，x x x x y y y y z z A B x y          ０ ０ ０ ０ ， ，则有x x x x x x y y y y y y z z dz dx dy x y            ０ ０ ０ ０ ０ ０ . 19.复合函数与隐函数的偏导数 （1）复合函数的偏导数 设函数    , , ,u x y v x y     在点  ,x y 处有连续偏导数.函数  ,z f u v 在对应 点  ,u v 处有连续偏导数.则复合函数    , , ,z f x y x y    ［ ］ 在点  ,x y 处对,x y 有连 续偏导数，且z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y                         ， . （2）一元隐函数的偏导数 设方程  , 0F x y  确定y 是x 的函数，且  ,F x y 在点  ,x y 的某个邻域内具有连续 偏导数，则        , , 0 , x y y F x ydy F x y dx F x y    . 20.期望与方差的性质 期望的性质： （1）  E C C （C 为常数）. （2）    E kX kE X . （3）      2 2E k X k Y k E X k E Y  1 1 . （4）若X Y， 相互独立，则      E XY E X E Y . 方差的性质： （1）  0D C  . （2）    D X C D X  . （3）    D kX k D X . （4）若X Y， 相互独立，则      D X Y D X D Y   . （5）      2 2 D X E X E X ［ ］ .