成考专升本在线模考

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2025 年成考专升本高等数学（二）黄金考点汇编 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 2 / 30

第一章极限、连续

考点 1：函数的定义

定义：设 D 是一个非空实数集， f 是定义在 D 上的一个对应关系，若对于任意的实数 Dx  ，都有唯一的实数 Ry  通过 f 与之对应，则 f 是定义在 D 上的一个函数，记作 Dxxfy  ),( 其中 x 称为自变量， y 称为因变量.自变量的变化范围称为函数的定义域，所有函数值构成的集合  Dxxfy  ,)( 称为函数的值域.

考点 2：三种常用特殊函数

1.分段函数：在定义域内不同区间上对应法则不同的解析式表示的函数，称为分段函数. 比如函数          1,3 10, 0,0 )( 2 xx xx x xf 是一个分段函数. 2.隐函数：设 x 在某个区间 D 内每取一个值时，在一定条件下，由方程 0),( yxF 可唯一确定一个 y 的值，则称由 0),( yxF 确定一个隐函数 )(xyy  .比如函数 13 42  yyxxy 是一个隐函数. 3.参数方程确定的函数：设      )( )( tyy txx ，若 x 在数集 D 内每取一个值时，由 )(txx  可唯一确定一个 y 值，则称由参数方程确定了 y 为 x 的函数. 比如函数      ty tx sin3 cos2 是一个由参数方程确定的函数.

考点 3：函数的性质

（1）函数的单调性 1.增函数：设函数 )(xf 在区间 D 上有定义，若对任给的 Dxx 21, 且 21 xx  ，都有 )()( 21 xfxf  成立，则称函数 )(xf 在区间 D 上单调增加，这时也称 )(xf 是 D 上的单调增加函数， D 又称为函数 )(xf 的单调增加区间. 2.减函数：设函数 )(xf 在区间 D 上有定义，若对任给的 Dxx 21, 且 21 xx  ，都有 )()( 21 xfxf  成立，则称函数 )(xf 在区间 D 上单调减少，这时也称 )(xf 是 D 上的单调减少函数，D 又称为函数 )(xf 的单调减少区间. 增函数减函数 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 3 / 30 （2）函数的奇偶性设函数 )(xf 在区间 D 上有定义，而且 D 关于坐标原点对称. 如果对任意的 Dx  ，都有 )()( xfxf  成立，则称 )(xf 是区间 D 上的奇函数；如果对任意的 Dx  ， )()( xfxf  都成立，则称 )(xf 是区间 D 上的偶函数. 【总结】①偶函数： )()( xfxf  ，图形关于 y 轴对称； ②奇函数： )()( xfxf  ，图形关于坐标原点对称. （3）函数的有界性设函数 )(xf 在区间 D 上有定义，若存在 0M ，对于该区间内任意的 x 恒有 Mxf )( ，则称函数 )(xf 在该区间内为有界函数. 【注意】函数的有界性是指函数值的有界性，而且有界性是相对的，在某个区域内是有界函数，在另一个区域也可能是无界函数，比如函数 x y 1  在区间 )1,0( 上是无界的，但是在区间 ]1,001.0[ 上是有界的，另外有界函数表示的是既有上界也有下界. （4）函数的周期性：设函数 )(xf 在区间 D 上有定义，若存在 0T ，对于任意的 Dx  有 DTx  )( ，且恒有 )()( xfTxf  ，则称函数 )(xfy  是周期函数， T 称为函数的周期. 使上述关系成立的最小正数为 T ，称为函数 )(xf 的最小正周期. 【注意】①并不是每个周期函数都有最小正周期，比如常数函数 2y 是一个周期函数，它没有最小正周期；②周期函数的图像可由一个周期 T 内的图像左右平移得到.

考点 4：反函数

设 )(xf 是定义在 D 上的一一对应函数，值域为 Z ，若对应关系 g 使得对任意的 Zy  ，都有唯一的 Dx  与之对应，且称 g 是 f 的反函数.反函数也记作 )()( 1 yfygx   . 【注意】①习惯上自变量用 x 表示，函数用 y 来表示，因此函数 )(xfy  的反函数 )(1 yfx   通常用 )(1 xfy   表示；②在同一直角坐标系中，函数 )(xfy  与其反函数 )(1 xfy   的图形关于直线 xy  对称；③只有一一对应的函数才有反函数，比如 2 xy  在 ),(  上没有反函数，但当 0x 时， 2 xy  有反函数 xy  .

考点 5：函数的四则运算与复合运算

2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 4 / 30 （1）函数的四则运算 1.加法运算： Dxxgxfxgf  ),()()()( 2.数乘运算： Dxxkfxkf  ,)()()( ； 3.乘法运算： Dxxgxfxfg  ),()())(( ； 4.除法运算： Dxxg xg xf x g f       ,0)(, )( )( )( . 【注意】如果做四则运算的函数定义域的交集为空集，此时四则运算没有意义，比如函数 1)( xxf  的定义域为 ]1,1[ ，函数 4)( 2  xxg 的定义域为 ),2[]2,(   ，显然 )()( xgxf  没有意义. （2）函数的复合运算设函数 )(ufy  的定义域为 fD ，函数 )(xgu  的定义域为 gD ，且值域 fg DR  ，则函数 gDxxgfy  )],([ 是一个由 )(xgu  和 )(ufy  构成的复合函数，函数的复合运算记作 gf  . 【注意】①不是所有的函数都可以构成复合函数，若要构成复合函数 gf  ，则严格要求 fg DR  ，否则不能构成复合函数.比如函数 ]1,1[,arcsin)(  fDuuufy 与函数 R gDxxxgu ,2)( 2 不能复合，因为 fg DR  . ②复合函数可以由多个函数复合而成，比如 1cos 2  xy .

考点 6：基本初等函数

（1）幂函数定义：形如  xy  （  为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数，所有的幂函数都过点 )1,1( . 性质：1. 0  时，幂函数在第一象限内为增函数，比如函数 2 2 ,, xyxyxy  ； 2. 0  时，幂函数在第一象限内为减函数，比如函数 21,   xyxy . （2）指数函数：定义：函数 )1,0(  aaay x 称为以 a 为底的指数函数，常用的是以无理数 e 为底的指数函数 x ey  . 性质：1.函数 )1,0(  aaay x 的定义域是 )( ，，值域是 )0( ，； 2.当 1a 时是单调增函数，当 10  a 时是单调减函数； 3.图像恒过 )1,0( 点，指数函数是非奇非偶函数.  1x y a a   0 1x y a a   2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 5 / 30 【注意】有理数指数幂运算法则 )1,0(  aa ： ① yxyx aaa   ② yx y x a a a   ③ xyxyyx aaa  )()( ④ xxx baab )( ⑤ x x a a 1  ⑥ y xy x aa  （3）对数函数定义：函数 x ay  的反函数称为以 a 为底的对数函数，记作 )1,0(log  aaxy a ，常用的是以实数 10 为底的对数函数 xy lg 以及无理数 e 为底的对数函数 xy ln . 性质： 1.函数 )1,0(log  aaxy a 的定义域是 )0( ，，值域是 )( ，； 2.当 1a 时是单调增函数，当 10  a 时是单调减函数； 3.图像恒过点 )0,1( ，对数函数是非奇非偶函数. 【注意】对数运算恒等式： ① yxxy aaa loglog)(log  ② yx y x aaa logloglog  ③ xrx a r a loglog  ④ log 1a a  ⑤ log 1 0a  ⑥ xa xa log （4）三角函数 1.锐角三角函数与直角三角形中三边的关系：正弦函数 r y  sin ；余弦函数 r x  cos ；正切函数 x y  tan ；余切函数 y x  cot ；正割函数 x r  sec ；余割函数 y r  csc . 2.三角函数中常用的相关公式： 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 6 / 30 ①平方关系： 2 2 sin cos 1    ，   22 sec1tan  ， 2 2 1 cot csc    ； ②商的关系： sin tan cos     ， cos cot sin     ； ③倒数关系： tan cot 1    ， sin csc 1    ， cos sec 1    . ④倍角公式：    cossin22sin  ， 1cos2sin21sincos2cos 2222       . 3.常用三角函数 ①函数 xy sin 是正弦函数，奇函数，定义域为 R ，值域为 ]1,1[ ，周期为 2 ； ②函数 xy cos 是余弦函数，偶函数，定义域为 R ，值域为 ]1,1[ ，周期为 2 ； ③函数 xy tan 是正切函数，奇函数，定义域为 }, ,|{ ZR  kkxxx  ，值域为 R ，周期为  . （5）反三角函数 1.常用反三角函数 ①函数 xy arcsin 是 xy sin 在区间 ] , [    上的反正弦函数，定义域为 ]1,1[ ，值域为 ] , [    ； ②函数 xy arccos 是 xy cos 在区间 ],0[  上的反余弦函数，定义域为 ]1,1[ ，值域为 ],0[  ； ③函数 xy arctan 是 xy tan 在区间 ) , (    上的反正切函数，定义域为 R ，值域为 ) , (    . 2.反三角函数的性质 ①反正弦函数 xy arcsin 在定义域内是单调增加的有界函数，是奇函数； ②反余弦函数 xy arccos 在定义域内是单调减少的有界函数，是非奇非偶函数； ③反正切函数 xy arctan 在定义域内是单调增加的有界函数，是奇函数. 【小结】以上五种函数与常数函数统称为基本初等函数，由基本初等函数经过有限次四则运算与有限次复合运算后能用一个解析式表达的函数称为初等函数.

考点 7：数列极限

（1）数列：若按照某一法则，对每个  Nn ，对应着一个确定的实数 na ，这些实数 na 按下标 n 由小到大顺序排列得到一个序列  ,,,, 21 naaa ，该序列称为数列，记作 }{ na ，其中 na 称为该数列的通项. （2）数列极限：设 }{ na 为数列， a 为常数，若对任意的正数  （不论它多么小），总存在正整数 N ，使得当 Nn  时，有  aan ，则称数列 }{ na 收敛于 a ，常数 a 称为数列的极限，记作 aan  n lim 【注意】若 axn n   lim ，则对于数列 }{ nx 的任意子数列 }{ knx 都有 ax kn  k lim .若数列 }{ nx 有一个子数列极限不存在，或有两个子数列极限存在但不相等，则 n n x  lim 不存在. （3）数列极限的性质 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 7 / 30 1.唯一性：数列极限的结果是唯一的； 2.有界性：收敛数列必有界； 3.夹逼定理：任意三个数列 }{}{}{ nnn zyx 、、，从某项开始，存在正整数 N ，当 Nn  时，有 nnn zyx  ，且 azx nn   nn limlim ，则必有 ayn  n lim ； 4.单调有界性：单调有界数列必有极限； 5.四则运算法则：若 ByAx nn   nn lim,lim ，则有： ① BAyx nn       )(lim n （  , 为常数）；② AByx nn   )(lim n ；③ )0(lim n   B B A y x n n .

考点 8：函数在 0xx  时的极限

（1）函数在一点的极限设函数 )(xf 在 0x 的某个去心邻域内有定义，当 x“无限趋于” 0x 时，其对应函数值 )(xf “无限趋于” 一个确定的数 A，则称函数 )(xf 在 0xx  时的极限是 A，此极限记作 .)(lim0 Axf xx   （2）函数在一点的左，右极限设函数 )(xf 在 0x 的左侧附近有定义，若当 0 xx  且“无限趋于” 0x 时，其对应的函数值 )(xf “无限趋于”一个确定常数 A ，则称函数 )(xf 在 0x 点的左极限是 A ，记作 Axf xx   )(lim 类似地，我们可以将函数 )(xf 在 0x 点的右极限是 B ，记作 Bxf xx   )(lim （3）函数在一点处有极限与左、右极限的关系设函数 )(xf 在 0x 点附近有定义，则 Axf xx   )(lim 的充分必要条件是： Axf xx   )(lim 且 Axf xx   )(lim .

考点 9：函数在无穷远的极限

函数在 x 时的极限：函数 )(xf 在 x 时的极限是 A ，记作 Axf x   )(lim .趋于无穷远处的极限类似于趋于某一点处的极限，对于无穷远可以分为正无穷远处和负无穷远处，当且仅当函数趋于正无穷远处以及负无穷远处的极限都存在时，才能得到 Axf x   )(lim . 比如 2 arctanlim, arctanlim     xx xx ，故 x x arctanlim  不存在. 【注意】当 x 时，对于求分子分母为关于 x 的同阶多项式的极限有一个重要结论：极限值等于最高次幂的系数之比，比如 2 lim, lim 45        xxx xxx xx xx xx .此方法被称为“抓大头”的思想.

考点 10：函数极限的运算

（1）极限的四则运算若 Axf xx   )(lim ， Bxg xx   )(lim ，则：1.   BAxgxf xx   )()(lim 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 8 / 30 2.   ABxgxf xx   )()(lim0        RkkAxkf xx ,)()lim( 0 ； 3.      0lim   B B A xg xf xx . （2）夹逼定理对于 0x 的某一去心邻域内的一切 x ，都有：

)()()( xhxfxg  ， 2. Axg xx   )(lim ， Axh xx   )(lim ，则有 Axf xx   )(lim （3）两个重要极限 1.重要极限（I）： 1 sin lim 0   x x x ； 2.重要极限（II）： e x x x   ) 1(lim . 【注意】1.对于重要极限（II），它也可以记作 ex x x   0 )1(lim . 2.对于两个重要极限，要知道，自变量 x 可以是任意的变量，比如，当 0x 时， 02 x 也成立，因此 1 sin lim 2 02   x x x 也成立.

考点 11：无穷小量与无穷大量的概念

（1）无穷小量的概念：若 0)(lim0   xf xx ，则称函数 )(xf 在 0xx  时是一个无穷小量，【注意】①无穷小与有界量的乘积仍然是无穷小量，例如 0 sinlim 0   x x x ； ②无穷小量与无穷大量在形式上互为倒数. （2）无穷大量的概念：若函数 )( xf 在 0xx  时是一个无穷小量，则称函数 )(xf 在 0xx  时是一个无穷大量，记作   )(lim xf xx . 1.当 x 无限趋于 0x 时，若 0 )( 1  xf 且无限趋于 0 ，则称函数 )(xf 在 0xx  时是一个正无穷大量，记作   )(lim xf xx ； 2.当 x 无限趋于 0x 时，若 0 )( 1  xf 且无限趋于 0 ，则称函数 )(xf 在 0xx  时是一个负无穷大量，记作   )(lim xf xx .

考点 12：无穷小量的比较

设 )(),( xgxf 都是 0xx  时的无穷小量，且 )(xg 在 0x 的去心邻域内不为零. 若 c xg xf xx   )( )( lim0 ，则 1.当 0c 时，称 )(xf 是 )(xg 在 0xx  时的高阶无穷小量，记作：  )()( xgoxf   0xx  2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 9 / 30 2.当 0 1c c 且时，称 )(xf 与 )(xg 在 0xx  时是同阶无穷小量； 3.当 1c 时，称 )(xf 与 )(xg 在 0xx  时是等价无穷小量，记作： )(~)( xgxf  0xx  极限 x 趋于 0 时的等价无穷小量常用等价无穷小替换公式 ① xsin ～ x ② xtan ～ x ③ xarcsin ～ x ④ xarctan ～ x ⑤ 1x e ～ x ⑥1- xcos ～ 2 1 x ⑦ 1x a ～ ax ln ⑧  x1ln ～ x ⑨ )1ln( xx  ～ 2 1 x ⑩ 11  x ～ x 1 ⑪ xx sintan  ～ 3 1 x ⑫ xx  11 ～ x 【注意】等价无穷小替换公式适用于所有满足此关系的式子，比如 x 时可得 0 1  x ，依然有 xx ~ sin ； 03 x 时， 233 )( ~)cos(1 xx .

考点 13：函数的连续与间断

（1）函数在一点连续的概念：设函数 )(xf 在 0x 及其附近有定义，若 )()(lim 0 xfxf xx   成立，则称函数 )(xf 在 0x 处连续， 0x 称为函数 )(xf 的连续点. （2）左连续、右连续设函数 )(xfy  在 0x 的某个邻域内有定义，如果 )]()(lim)[()(lim 00 00 xfxfxfxf xxxx    ，则称函数 )(xf 在点 0x 处左连续（或右连续）.当且仅当函数在一点处的左右极限都等于函数值时，函数在该点处才连续. （3）函数间断点的定义设函数 )(xf 在点 0x 的某去心邻域内有定义，在此前提下，如果函数 )(xf 有下列三种情形之一： 1.在点 0xx  处没有定义； 2.虽在 0xx  处有定义，但 )(lim xf xx 不存在； 3.虽在 0xx  处有定义，且 )(lim xf xx 存在，但 )()(lim 0 xfxf xx   . 则函数 )(xf 在点 0x 处不连续，且点 0x 称为函数 )(xf 的间断点或不连续点. 【注意】由于一切初等函数在其定义区间内皆连续，所以初等函数的间断点往往是无定义的点；对分段函数来说，间断点往往是分段点；当然这些点具体是不是间断点还要从连续的三个条件判断，这三个条件有一个不满足，即可认为该点为函数的间断点. 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 10 / 30 （4）间断点的分类 1.第一类间断点：若 0x 是函数 )(xf 的间断点，且左极限 )( 0  xf 及右极限 )( 0  xf 都存在，那么称 0x 为函数 )(xf 的第一类间断点. ①在第一类间断点中，若 )()( 00   xfxf ，即 )(lim xf xx 存在，则称 0x 为可去间断点. ②在第一类间断点中，若 )()( 00   xfxf ，则称 0x 为跳跃间断点. 2.第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. ①当   0xx 或   0xx 时，函数 )(xf ，则称 0x 为函数 )(xf 的无穷间断点. ②当 0xx  时，函数 )(xf 的极限不存在，呈上下振荡情形，则称 0x 为函数 )(xf 的振荡间断点. （5）函数连续的性质 1.设函数 )(xf 和 )(xg 在点 0x 处连续，则它们的和（差） gf  、积 gf  及商 g f （当 0)( 0 xg 时）都在点 0x 处连续； 2.设函数 )]([ xgfy  由函数 )(ufy  与函数 )(xgu  复合而成， gfDxU )( 0 .若函数 )(xgu  在 0xx  处连续，且 00 )( uxg  ，而函数 )(ufy  在 0uu  处连续，则复合函数 )]([ xgfy  在 0xx  处也连续. （6）闭区间上连续函数的性质 1.最大值和最小值定理：如果函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，则函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上必定取得最大值和最小值； 2.有界性定理：若函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，则函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上必有界； 3.介值定理：设函数在闭区间 ],[ ba 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及 Bbf )( ，则对于 A 和 B 之间的任意一个数 C ，在开区间 ),( ba 内至少有一点  ，使得 )()( baCf    . 推论 1：设函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，M 和 m 分别是 )(xf 在 ],[ ba 上的最大值和最小值，则对于满足 Mm   的任何实数  ，至少存在一点 ),( ba  ，使得   )(f ；推论 2（零点定理）：若函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，且 )(af 与 )(bf 异号（即 0)()( bfaf ），则至少存在一点 ),( ba  使得 .0)(  f （7）初等函数的连续性 1.基本初等函数在其定义域内为连续函数；2.初等函数在其定义区间内为连续函数.

第二章一元函数的微分学

考点 14：导数的概念

（1）函数在一点处的导数定义 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 11 / 30 1.设函数 )(xfy  在 0x 及其附近有定义，如果极限 0 )()( lim0 xx xfxf xx    存在，则称函数 )(xf 在 0xx  处可导，极限的值称为函数 )(xfy  在 0x 处的导数，记作 )(' xf ， 0xxdx dy  或 )( xxdx xdf  等 2.导数的定义式： x xfxxf xf x     )()( lim)(' 0 或 )()( lim)(' 0 xx xfxf xf xx     （2）左导数与右导数如果函数 )(xfy  在点 0x 及其左侧邻域内有定义，当 x xfxxf x     )()( lim 00 存在时，则称该极限值为函数 )(xf 在点 0x 处的左导数，记为 )(' 0xf  ，即 x xfxxf xf x       )()( lim)(' 00 同理，定义右导数为 x xfxxf xf x       )()( lim)(' 00 函数 )(xfy  在点 0x 处可导的充分必要条件是函数 )(xf 在点 0x 处的左、右导数都存在且相等，即 )(')(')(' 000 xfxfxf   . （3）导数的几何意义如果函数 )(xfy  在点 0x 处可导，则曲线 )(xfy  在点 ))(,( 00 xfx 处必定存在切线，且该切线的斜率为 )(' 0xf ，即函数 )(xfy  在点 0x 处的导数 )(' 0xf 在几何上表示曲线 )(xfy  在点 ))(,( 00 xfxM 处的切线斜率，即 tan)(' 0 xf ，其中  是切线的倾斜角.函数 )(xfy  在某点处的导数、曲线 )(xfy  在某点处的切线的斜率和倾斜角的正切值，以上三者是可以互相转化的. 根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线 )(xfy  在点 ))(,( 00 xfx 处的切线方程为 ))((')( 000 xxxfxfy  如果 0)(' 0 xf ，则此曲线 )(xfy  在点 ))(,( 00 xfx 处的法线方程为 )( )(' )( 0 0 xx xf xfy  若 0)(' 0 xf ，则切线方程为 )( 0xfy  ，法线方程为 0xx  . 若 )(' 0xf ，则函数在该点处的导数不存在，曲线 )(xfy  在点 ))(,( 00 xfx 处的切线垂直于 x 轴，即切线方程为 0xx  ，法线方程为 )( 0xfy  . （4）可导与连续的关系：如果函数 )(xfy  在点 0x 处可导，则函数 )(xfy  在点 0x 处连续. 【注意】 )(xf 在点 0x 处连续不等价于 )(xf 在点 0x 处可导.例如， |1|  xy 在 1x 处连续但不可导，故可导一定连续，连续不一定可导.

考点 15：微分的概念

（1）函数在一点处的微分设函数 )(xfy  在 0x 及其附近有定义，如果函数值 )(xf 在点 0x 处的改变量 )(xf 可以表示成自变量改变量的一次项 xxa )( 0 与自变量改变量的高阶无穷小量 )( xo  之和，即 )()()( 00 xoxxaxf  2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 12 / 30 则函数 )(xfy  在 0x 处可微， xxa )( 0 称为 )(xf 在 0x 处的微分. 函数的微分表达式： dxxfxdf )(')(  . （2）可导与可微的关系函数 )(xfy  在点 0x 处可微的充分必要条件是 )(xf 在点 0x 处可导，即可导与可微等价且有 .)(')('| 000 dxxfxxfdy xx 

考点 16：基本导数公式

基本初等函数求导公式（重要公式，重点记忆） 1.常数函数的导数： 0)'( C ； 2.幂函数的导数： 1 )'(     xx ， 1 )'()'(   n m n m n m x n m xx ； 3.指数函数的导数： aaa xx ln)'(  ， xx ee )'( ； 4.对数函数的导数： ax xa ln )'(log  ， x x 1 )'(ln  ； 5.三角函数的导数： xx cos)'(sin  ， xx sin)'(cos  ； xx 2 sec)'(tan  ， xx 2 csc)'(cot  ； xxx tansec)'(sec  ， xxx cotcsc)'(csc  ； 6.反三角函数的导数： 2 )'(arcsin x x   ， 2 )'(arccos x x   ， )'(arctan x x   ， 2 )'cotarc( x x   .

考点 17：导数运算（重要公式，重点记忆）

若函数 vu, 在 0x 处可导，则其和、差、积、商构成的函数均在 0x 处可导.

'')'( vuvu  ；
'')'( uvvuuv  ，进一步有 ')'( CvCv  （ C 为常数）；
)0( '' )'( 2    v v uvvu v u .

考点 18：复合函数的链式求导法则

设函数 ))(( xgfy  是函数 )(),( xguufy  的复合.若 )(xg 在 0x 处可导， )(uf 在 )( 00 xgu  处可导，则函数 ))(( xgfy  关于 x 在 0x 处的导数为 )('))((')(')('| 00000 xgxgfxguf dx dy xx 

考点 19：复合函数的微分

如果函数 )(ufy  可微，函数 )(xuu  也可微，则复合函数 )]([ xufy  的微分 dxxuufdy )(')('  或记作 duufdy )(' 这个结论称为一阶微分形式不变性.

考点 20：特殊函数的求导法

2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 13 / 30 （1）对数求导法：对于形如 )( )( xg xfy  的幂指函数，可运用对数求导法求导（2）反函数的导数如果函数 )( yx  在某一区间单调、可导，且 0)(' y  ，则它的反函数 )(xfy  在对应区间内也可导，且 )0)('( )(' )('  y y xf   ，或记为 dy dxdx dy 1  ，即反函数的导数等于原导数的倒数. （3）隐函数的求导方法根据复合函数的求导法则，若有 )(xyy  ，可得 dx dy ygyg x )(')]'([  ，故可以确定隐函数中的导数. 另外，在后续内容的多元函数微分学中我们将会学习隐函数求导的公式法求解隐函数的导数.

考点 21：高阶导数

（1）概念：函数 )(xf 的一阶导数 )(' xf 的导数为二阶导数，记作 )(" xf ；二阶导数的导数为三阶导数，记作 )()3( xf ；……； n 阶导数： ')]([)( )1()( xfxf nn   或 ] )( [ )( 1    n n n n dx xfd dx d dx xfd . 一般地，二阶及以上的导数统称为高阶导数.

考点 22：基于未定式“ 0

0 ”型或“   ”型的极限洛必达法则：当 )(0  xxx 时，函数 )(),( xgxf 都趋于零或无穷大，在点 0x 的某个去心邻域内， )('),(' xgxf 都存在， 0)(' xg ，且 )(' )(' lim )( 0 xg xf x xx   存在，则： )(' )(' lim )( )( lim )()( 00 xg xf xg xf x xx x xx      【注意】对于 0 0 型的未定式求极限问题，可以使用洛必达法则以及等价无穷小替换相结合地求解，另外若使用一次洛必达法则后仍然是未定式，可以继续使用洛必达法则，直到求得一个确定的常数.

考点 23：函数单调性

单调性判定定理：通过判断函数导数的正负来判断函数的增减性. 设函数 )(xf 在 ],[ ba 上连续，在 ),( ba 内可导： 1.若在 ),( ba 内 0)(' xf ，则 )(xf 在 ],[ ba 上单调增加； 2.若在 ),( ba 内 0)(' xf ，则 )(xf 在 ],[ ba 上单调减少.

考点 24：函数的极值

（1）极值与极值点的定义 1.设函数 )(xf 在点 0x 的某个邻域内有定义，对于邻域内（除点 0x 外）的任意一点 x 均有 )()( 0xfxf  （或 )()( 0xfxf  ），则称 )( 0xf 是函数 )(xf 的极大值（或极小值），称 0x 是函数 )(xf 的极大值点（或极小值点）； 2.极值包括极大值和极小值，极值点包括极大值点和极小值点； 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 14 / 30 3.凡是使 0)(' 0 xf 的点 0x ，称为函数 )(xf 的驻点. （2）函数极值点的判定定理 1.第一判定定理：设函数 )(xf 在 0x 点的邻域可导，且 0)(' 0 xf . 左侧邻近值右侧邻近值极大值 0)(' 0 xf 0)(' 0 xf 极小值 0)(' 0 xf 0)(' 0 xf 2.第二判定定理：函数 )(xf 在 0x 有二阶导数，且 0)(",0)(' 00  xfxf ，则 ①函数 )(xf 在 0x 点取极大值， 0)(" xf ； ②函数 )(xf 在 0x 点取极小值， 0)(" xf ；【注意】① 0x 为 )(xf 的极值点不可推 0x 为 )(xf 的驻点（也可能是不可导点）.例如 0|,|  xxy 是函数的极值点，但它并不是函数的驻点，而是不可导点； ② 0x 为 )(xf 的驻点不可推 0x 为 )(xf 的极值点.例如 03)(',)( 23  xxfxxf ，则 0x 是 )(xf 的驻点，但 )(' xf 在 0x 的去心邻域内恒大于 0，所以 0x 不是 )(xf 的极值点； ③求函数单调性和极值的一般步骤如下： a.确定函数 )(xf 的定义域； b.求导数 )(' xf ； c.求出 0)(' xf 的点和 )(' xf 不存在的点； d.以上述点为分点将定义域分成若干个部分区间，并列表讨论 )(' xf 在各个区间内的符号确定单调性，从而确定函数的极值和极值点. （3）函数最值的判定方法在实际生活中我们经常会遇到求某一函数的最值问题，下面我们讨论不同情况下的最值情况. 1.函数 )(xfy  在开区间内的最值定理：设函数 )(xfy  在某开区间 ),( ba 内只有一个极值点 0x ，那么： ①如果点 0x 为极大值点，则唯一极大值点也是函数 )(xf 在该区间的最大值点； ②如果点 0x 为极小值点，则唯一极小值点也是函数 )(xf 在该区间的最小值点. 开区间内的可导函数不一定有最值.当 )(xf 在 ),( ba 内单调递增或单调递减时， )(xf 无最值，当 )(xf 满足定理的条件，那么可导函数存在最值，则求函数 )(xf 在开区间最值的步骤如下： ①求 )(' xf ，并令 0)(' xf ，得到唯一的驻点； ②判断 )(" xf 的符号确定极值点，由定理得到最值点，进而得到最值. 2.函数 )(xfy  在闭区间上的最值 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 15 / 30 如果函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，则函数 )(xf 在 ],[ ba 上必能取得最值. 【注意】求函数 )(xfy  在闭区间 ],[ ba 上最值的一般步骤是： ①求出函数 )(xf 在 ),( ba 内的所有驻点和 )(' xf 不存在的点； ②求出①中所有点的函数值和端点的函数值； ③比较这些函数值的大小，其中函数值最大的就是函数 )(xf 在 ],[ ba 上的最大值，函数值最小的就是函数 )(xf 在 ],[ ba 上的最小值.

考点 25：曲线凹凸性的定义

设函数 )(xf 在区间 ),( ba 内连续，且具有二阶导数，若对任意 ),(21 baxx ， . 凹凸性二阶导数函数值图像 ① )(xf 在区间 ),( ba 内图形是凹的 0)(" xf )()( ) ( 2121 xfxfxx f    ② )(xf 在区间 ),( ba 内图形是凸的 0)(" xf )()( ) ( 2121 xfxfxx f   

考点 26：拐点的定义

连续函数上，曲线在点 M 的两侧有不同的凹凸性，则称 M 点为曲线上的拐点. 【注意】求函数拐点的一般步骤： ①确定函数的定义域； ②求出 0)(" xf 的点和 )(" xf 不存在的点； ③以上述点为分点将定义域分成若干个部分区间，并讨论 )(" xf 在各个区间内的符号，从而确定函数的凹凸区间和拐点.

考点 27：曲线的渐近线

（1）水平渐近线设有曲线 )(xfy  ，那么有 1.如果 axf x   )(lim ，则称直线 ay  是曲线趋于  的水平渐近线； 2.如果 axf x   )(lim ，则称直线 ay  是曲线趋于  时的水平渐近线； 3.如果 axf x   )(lim ，则称直线 ay  是曲线趋于  时的水平渐近线. （2）铅直渐近线设有曲线 )(xfy  .如果存在常数 c ，使得   )(lim xf cx 或   )(lim xf cx 或   )(lim xf cx ，那么直线 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 16 / 30 cx  称为曲线 )(xfy  的铅直渐近线（又叫垂直渐近线）.

第三章一元函数的积分学

考点 28：原函数与不定积分

（1）原函数的定义若区间 I 上存在任意 x 满足 )()(' xfxF  （或 dxxfxdF )()(  ），则称 )(xF 为 )(xf 的原函数. 【注意】①若函数 )(),( xGxF 都是函数 )(xf 在某区间内的原函数，则 axGxF  )()( （ a 为某个确定常数），即同一函数的原函数相互之间相差一个常数； ②设函数 )(xf 在某区间内连续，则函数 )(xf 在该区间内的原函数一定存在.由于初等函数在其定义区间上为连续函数，因此初等函数在其定义区间上的原函数必定存在. （2）不定积分的定义：称全体原函数 CxF )( 为 )(xf 的不定积分，记为  dxxf )( ， CxFdxxf  )()( （ C 为任意常数）

考点 29：不定积分基本性质

1.设 k 是不为零的常数，则 dxxfkdxxkf   )()( ； 2.     dxxgdxxfdxxgxf )()()()( ； 3. dxxfdxxfdxfdxxf )(])([)(]')([   ； 4. CxFdxxF  )()(' .

考点 30：基本积分公式

常用的基本积分公式 ① Cdx 0 ② )1( 1 1          Cxdxx ③ )1,0( ln  aaC a a dxa x x ④ Cedxe xx  ⑤ Cxdxx  sincos ⑥ cxdx x dxx   tan cos sec 2 ⑦ Cxxdxx  csccotcsc ⑧ Cxdx x dxx   cot sin csc 2 ⑨ Cxdx x  ln 1 ⑩ Cxdxx  cossin ⑪ Cxdxxx  sectansec ⑫ Cxdx x   arctan 1 2 ⑬ Cxdx x    arcsin ⑭ Cxdx x     arccos

考点 31：第一换元积分法定义及其常考公式

2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 17 / 30 1.设函数 )(uf 有原函数 )(),( xuuF  可导，则有第一换元积分公式： CxFdxxxf  )]([)(')]([    2.若 CuFduuf  )()( ，用第一换元积分法求不定积分时，以下凑微分常出现： ① )0()( )()( )(   aCbaxF a baxdbaxf a dxbaxf ② )0()( )()( )( 1          CxF a xdxf a dxxxf ③ CeFedefdxeef xxxxx   )()()()( ④   CxFxdxfdx x xf )(ln)(ln)(ln )(ln ⑤    CxFxdxfxdxxf )(sin)(sin)(sincos)(sin ⑥   CxFxdxfxdxxf )(cos)(cos)(cossin)(cos ⑦    CxFxdxfxdxxf )(tan)(tan)(tansec)(tan 2 ⑧    CxFxdxfxdxxf )(cot)(cot)(cotcsc)(cot 2 ⑨ CxFxdxfdx x xf    )(arctan)(arctan)(arctan )(arctan 2 ⑩     CxFxdxfdx x xf )(arcsin)(arcsin)(arcsin )(arcsin 2

考点 32：第二换元积分法的基本类型

1.三角代换：若被积函数中含有根式 22 xa  或 )0(22  aax ，可用“三角代换”： ①对于 22 xa  ，令 ) (sin    ttax 或 )0(cos  ttax ； ②对于 22 ax  ，令 ) (tan    ttax ； ③对于 22 ax  ，令 ) 0(sec    tttax 或 . 2.根式代换：当被积函数含有根式 n bax  )0( a 时，通过换元公式令 tbaxn  ，可以将根号去掉，变量代换为 )( 1 bt a x n  .

考点 33：利用分部积分法计算不定积分

设函数 )(),( xvvxuu  的导数都存在且连续，则有   dxxvxuxvxudxxvxu )()(')()()(')( 简写可以记为   vduuvudv .此方法称为分部积分法.

考点 34：有理函数的积分与计算方法

2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 18 / 30 两个多项式的商 )( )( xQ xP 称为有理函数，我们总假定分子多项式 )(xP 与分母多项式 )(xQ 之间没有公因式，当分子多项式 )(xP 的次数小于分母多项式 )(xQ 的次数时，称这个有理函数为真分式，否则称为假分式. 利用多项式的除法，总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式，比如 32 2     x x x xx . 对于真分式 )( )( xQ xP ，如果分母可以分解为两个多项式的乘积，即 )()()( 21 xQxQxQ  .若 )(),( 21 xQxQ 没有公因式，那么它可以拆分为两个真分式的和，即 )( )( )( )( )( )( xQ xP xQ xP xQ xP  ，此步骤称为把真分式化为部分分式和.若 )(1 xQ 或 )(2 xQ 还能分解为两个没有公因式的多项式乘积，那么就可再拆分成更简单的部分分式. 最后有理函数的分解式中只含有多项式， lk qpxx xP ax xP )( )( , )( )( 2  等三类函数，其中 )(,04 1 2 xPqp  为小于 k 次的多项式， )(2 xP 为小于 l2 次的多项式.

考点 35：定积分的定义

设函数 )(xfy  在区间 ],[ ba 上有界，在区间 ],[ ba 中任取分点 bxxxxxa nn  1210 . 将区间 ],[ ba 分成 n 个小区间 ],[ 1 ii xx  ，小区间的长度为 ),,2,1(1 nixxx iii   ，在每个小区间 ],[ 1 ii xx  上任取一点 i  ，作乘积 ),,2,1()( nixf ii   的和：   n i ii xf )(  . 记 }{max 1 i ni x   ，如果不论对区间 ],[ ba 采取何种分法以及 i  如何选取，当 0  时，和式   n i ii xf )(  的极限总存在，则此极限称为函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上的定积分，记作 b a dxxf )( ，即 .)(lim)( 1 0     n i ii b a xfdxxf   其中， a 与 b 分别叫作积分的下限和上限， ],[ ba 叫作积分区间. 【注意】①定积分的大小只与被积函数 )(xf 及积分区间 ],[ ba 有关，与积分变量的符号 x 无关，改变函数自变量的字母不改变定积分的值，即 duufdttfdxxf b a b aa   )()()( b ； ②若函数 )(xfy  在区间 ],[ ba 上恒等于 1，那么   b a b a abdxdxxf 1)( ； ③由定积分定义可知 0)()()(   dxxfdxxfdxxf a a a b b a ， .

考点 36：定积分的几何意义

2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 19 / 30 函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上的定积分表示为直线 0,,  ybxax 所围成的几个曲边梯形的面积代数和. 321)( SSSdxxf b a 

考点 37：定积分的性质

    b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()()( ；
dxxfkdxxkf b a b a   )()( ； 3.积分区间的可加性： dxxfdxxfdxxf b c c a b a   )()()( ； 4.奇函数 )(xf 在对称区间上的定积分为 0，即 0)(  dxxf a a ； 5.偶函数 )(xf 在对称区间上的定积分为 dxxfdxxf aa a    0 )(2)( ； 6.若在区间  ba, 上有 )()( xgxf  ，则   b a b a dxxgdxxf )()( ； 7.估值定理：设 M 及 m 分别是函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值，则   b a abMdxxfabm )()()( )( ba  8.积分中值定理：如果函数 )(xf 在积分区间 ],[ ba 上连续，则在 ],[ ba 上至少存在一个点  ，使下式成立： )()()( abfdxxf b a   ),( ba   这个公式叫作积分中值公式.

考点 38：定积分的存在定理

若函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上连续，则定积分 b a dxxf )( 必定存在. 若函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上有界，且只有有限个间断点，则定积分 b a dxxf )( 必定存在.

考点 39：变上限函数的定义

1.若 )(xf 在 ], ba 上连续， )(xg 是可微的，则   )( )('))(( xg a xgxgfdttf dx d 2.若 )(xf 在 ], ba 上连续，且积分上、下限都是 x 的可微函数，则 )(')(')]([))(( )( )( xxfxxfdttf dx d x x        【注意】连续函数 )(xf 取变上限 x 的定积分然后求导，其结果还为 )(xf 本身.联想到原函数的定义，就可以推知  x a dttfx )()(  是连续函数 )(xf 的一个原函数.因此，我们引出如下的原函数的存在定理：如果函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上连续，则函数  x a dttfx )()(  就是 )(xf 在 ],[ ba 上的一个原函数. 此定理的意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.因而，我们就有可能通过原函数来计算定积分. 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 20 / 30

考点 40：牛顿--莱布尼茨公式

设 )(xf 在 ],[ ba 上连续，且 )()(' xfxF  ，则有牛顿--莱布尼茨公式：   b a aFbFdxxf )()()( 为了方便书写，我们可以把公式记作：   b a b axFdxxf |)()(

考点 41：定积分的换元积分法

设函数 )(xf 在 ],[ ba 上连续，函数 )(tx  满足条件：

)(t  在区间 ],[   上单调，且具有连续导数 )(' t  ； 2.当 t 在 ],[   上变化时， )(tx  的值在 ], ba 上变化，且 ba  )(,)(   ， dtttfdxxf b a )(')(     【注意】如果要对定积分换元，则要换积分上下限.

考点 42：定积分的分部积分法

设函数 )(,)( xvvxuu  在 ],[ ba 上有连续导数，则   b a b a b a b a vduuvdvudxvu |'

考点 43：平面图形的面积

直角坐标下平面图形的面积 1.由连续曲线 )0)(()(  xfxfy 以及直线 bxax  , 和 x 轴所围成的平面图形的面积为 dxxfA b a )( 2.由连续曲线 )0)(()(  ygygx 以及直线 byay  , 和 y 轴所围成的平面图形的面积为 dyygA b a )( 3.由上、下两条连续曲线 ))()()((),( 1212 xfxfxfyxfy  及两条直线 )(, babxax  所围成的平面图形，面积计算公式为   b a dxxfxfA )]()( 12 4.由左、右两条连续曲线 ))()()((),( 1221 ygygygxygx  及两条直线 )(, dcdycy  所围成的平面图形，面积计算公式为：   d c dyygygA )([ 12

考点 44：旋转体的体积

平面图形绕 x 轴和 y 轴旋转 1.由连续曲线 )(xfy  以及直线 bxax  , 和 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体体积： dxxfV b a x )(2   2.由连续曲线 )( ygx  以及直线 byay  , 和 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积： dyygV b a y )(2   2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 21 / 30

第四章多元函数微积分学

考点 45：二元函数的定义

设在一变化过程中，有三个变量 yx, 和 z ，如果对于变量 yx, 在某一范围 D 内任意取定的一对数值，变量 z 按一定的规律都有唯一确定的值与之对应，则称变量 z 是变量 yx, 的二元函数，记为 ),( yxfz  或 ),( yxzz  其中 yx, 称为自变量， z 称为因变量，自变量 yx, 在变化过程中的取值范围 D 叫做函数的定义域. 对于确定的 ),( 00 yx ，函数 z 有唯一确定的值 0z 与之对应，则称 0z 为函数 ),( yxf 在点 ),( 00 yx 处的函数值，记作 ),( 00 yxf 或 ),( 00 | yxz

考点 46：多元函数的定义

若对于变量 nxxx ,,, 21  在其可能取值的某一范围内的每一组值，变量 z 依照某一法则有唯一确定值 z 与之对应，则称 z 为 nxxx ,,, 21  的 n 元函数，常记作 ),,,( 21 nxxxfz  当 1n 时， n 元函数就是一元函数；当 2n 时， n 元函数统称为多元函数.

考点 47：二元函数的极限与连续

1.设二元函数 ),( yxfz  在点 ),( 000 yxP  的某一去心邻域内有定义，如果当点 ),( yxP  以任意方式无限接近点 ),( 000 yxP  时， ),( yxf 总无限接近于一个确定的常数 A ，那么就称 A 是二元函数 ),( yxf 当 ),(),( 000 yxPyxP  时的极限，记为 Ayxf yxyx   ),(lim ),(),( 00 或 Ayxf yy xx    ),(lim . 2.设函数 ),( yxfz  在点 ),( 000 yxP  的某邻域内有定义，如果 ),(),(lim 00 yxfyxf yy xx    ，则称二元函数 ),( yxfz  在点 ),( 000 yxP  处连续.如果 ),( yxf 在区域 D 内的每一点都连续，则称 ),( yxf 在区域 D 上连续或称 ),( yxf 是 D 上的连续函数.

考点 48：一阶偏导数

二元函数 ),( yxfz  在点 ),( 00 yx 对 x 的偏导数，就是一元函数 ),( 0yxfz  在点 0x 的导数；二元函数 ),( yxfz  在点 ),( 00 yx 对 y 的偏导数，就是一元函数 ),( 0 yxfz  在点 0y 的导数，可见二元函数求偏导数相当于一元函数求导数，只需在求 x 的偏导数时，将 y 看作常量；在求 y 的偏导数时，将 x 看作常量（即对谁求导，谁在变，其余视为常数）.

考点 49：高阶偏导数

设函数 ),( yxfz  在区域 D 内有偏导数 xf x z    ， yf y z    ，一般来说，它们在 D 内还是 yx, 的函数，如果这两个函数的偏导数存在，继续对 x 和 y 求偏导，则偏导数的偏导称为 ),( yxfz  的二阶偏导数. 按对变量求导次序的不同，二元函数 ),( yxfz  有下列四个二阶偏导数： 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 22 / 30 ),,()(2 yxf x z xx z xx        ),()( yxf x z yyx z xy        ),,()( yxf y z xxy z yx        ),()(2 yxf y z yy z yy        其中 yx z  2 与 xy z  2 称为混合偏导数.同样，可以定义三阶，四阶，  ， n 阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 若函数 ),( yxfz  的两个二阶混合偏导数 yx z  2 ， xy z  2 都在点 ),( yx 处连续，则有 xy z yx z      22

考点 50：全微分

设函数 ),( yxfz  在点 ),( yx 的某邻域内有定义，若函数在点 ),( yx 的全增量 ),(),( yxfyyxxfz  可表示为 )( oyBxAz  其中 BA, 不依赖于 yx  , 而仅与 yx, 有关， 22 )()( yx   ， )( o 是当 0  时比  高阶的无穷小，则称函数 ),( yxfz  在点 ),( yx 处可微分，而 yBxA  称为函数 ),( yxfz  在点 ),( yx 处的全微分，记作 dz ，即 .yBxAdz  1.全微分存在的必要条件：设函数 ),( yxfz  在点 ),( yx 处可微分，则 ),( yxfz  在点 ),( yx 处的偏导数 y z x z     , 必定存在，且函数 ),( yxfz  在该点的全微分为 .dy y z dx x z dz       2.全微分存在的充分条件：设函数 ),( yxfz  的偏导数 y z x z     , 在点 ),( yxP 处连续，则 ),( yxfz  在点 ),( yxP 处可微分.

考点 51：多元函数的连续、可微、偏导数存在与连续之间的关系

      .连续偏导数存在，可微偏导数连续 1.反之均不一定成立. 2.对于多元函数，偏导数存在不一定连续，连续也不一定偏导数存在.

考点 52：复合函数的偏导数

在计算复合函数的偏导数之前，通常先分析清楚变量之间的关系，再根据链式法则求导. 链式法则：设函数 ),(),,( yxvvyxuu  在点 ),( yx 处有连续偏导数，函数 ),( vufz  在对应点 ),( vu 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 23 / 30 处有连续偏导数.则复合函数 )],(),,([ yxvyxufz  在点 ),( yx 处对 x 与 y 有连续偏导数，且有下列链式法则 x v v z x u u z x z               y v v z y u u z y z              

考点 53：一元隐函数求导公式

设函数 ),( yxF 在点 ),( 00 yxP 的某一邻域内具有连续偏导数 ),(),,( 0000 yxFyxF yx ，且 0),(0),( 0000  yxFyxF y，，则方程 0),( yxF 在点 ),( 00 yx 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 )(xfy  ，它满足条件 )( 00 xfy  ，并有 . y x F F dx dy 

考点 54：二元隐函数求偏导数公式

设函数 ),,( zyxF 在点 ),,( 000 zyxP 的某一邻域内具有连续偏导数 ),,(),,,(),,,( 000000000 zyxFzyxFzyxF zyx ，且 0),,(0),,( 000000  zyxFzyxF z，，则方程 0),,( zyxF 在点 ),,( 000 zyx 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxfz  ，它满足条件 ),( 000 yxfz  ，并有 z x F F x z    ， . z y F F y z   

考点 55：二元函数无条件极值

（1）极值的定义设函数 ),( yxfz  在区域 D 上有定义，点 ),( 000 yxP 的某个邻域 DU  .如果对于U 中异于 ),( 000 yxP 的任何点 ),( yxP ，总有不等式 ),(),( 00 yxfyxf  成立，则称 ),( 00 yxf 为函数 ),( yxf 的极大值，其中 ),( 000 yxP 称为极大值点.如果对于U 中异于 ),( 000 yxP 的任何点 ),( yxP ，总有不等式 ),(),( 00 yxfyxf  成立，则称 ),( 00 yxf 为函数 ),( yxf 的极小值，其中 ),( 000 yxP 称为极小值点. （2）取得极值的必要条件如果函数 ),( yxfz  在点 ),( 000 yxP 处的两个偏导数都存在，且此函数在该点处取得极值，则 0),(,0),( 0000  yxfyxf yx .使得函数 ),( yxfz  的两个偏导数都等于零的点称为驻点，与一元函数类似，可导的极值点必是驻点，但极值点不一定是驻点. （3）取得极值的充分条件设函数 ),( yxf 在驻点 ),( 000 yxP 的某个邻域内具有二阶连续偏导数.令 ),(),,(),,( 000000 yxfCyxfByxfA yyxyxx  ， ACB  2 ，则 1.当 0 时，点 ),( 000 yxP 是函数的极值点，且当 0A 时 ),( 00 yxf 是极大值；当 0A 时 ),( 00 yxf 是极小值； 2.当 0 时，点 ),( 000 yxP 不是函数的极值点； 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 24 / 30 3.当 0 时，无法判断函数在 ),( yxf 点 ),( 000 yxP 是否有极值.

考点 56：二元函数的条件极值

求二元函数 ),( yxfz  在约束条件 0),( yx  下的极值称为条件极值，可以按照如下步骤进行: 1.构造拉格朗日函数 ),(),(),( yxyxfyxL  ； 2.解方程组                 0),( 0),(),( 0),(),( yx yxyxf y L yxyxf x L yy xx    ； 3.若求得方程组的解为 000 ,, yx ，则 ),( 00 yx 是可疑极值点. 同理，求三元函数 ),,( zyxfu  在约束条件 0),,( zyx  下的极值，可以按照如下步骤进行: 1.构造拉格朗日函数 ),,(),,(),,( zyxzyxfzyxL  ； 2.解方程组                      0),,( 0),,(),,( 0),,(),,( 0),,(),,( zyx zyxzyxf z L zyxzyxf y L zyxzyxf x L zz yy xx     ； 3.若求得方程组的解为 0000 ,,, zyx ，则 ),,( 000 zyx 是可疑极值点. 上述方法称为拉格朗日乘数法.

第五章概率论初步

考点 57：分类计数原理（加法原理）

如果完成一件事有 n 类方法，第一类有 1m 种方法，第二类有 2m 种方法，… ，第 n 类有 nm 种方法，那么完成这件事共有 nmmmN  21 （种）方法. 例如，从甲地到乙地，可以乘火车也可以乘飞机，每天火车有 3 班，飞机有 2 班，则一天中从甲到乙地共有几种走法？实际上，从甲地到乙地有两类办法，一类是火车，有 3 种走法；一类是飞机，有 2 种走法.故共有 523  （种）方法.

考点 58：分步计数原理（乘法原理）

如果完成一件事需要 n 个步骤，第一步有 1m 种方法，第二步有 2m 种方法，… ，第 n 步有 nm 种方法，那么完成这件事共有 nmmmN  21 （种）方法. 例如，从甲地到丙地必须经过乙地，甲地到乙地有 3 条路可走，乙地到丙地有 2 条路可走，则从甲地到丙 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 25 / 30 地共有多少种不同走法？从甲地到丙地需要分成两个步骤完成：第一步先从甲地到乙地，有 3 种走法，第二步再从乙地到丙地，有 2 种走法.故完成从甲地到丙地这个任务共有 623  （种）走法. 两个基本原理的区别： 1.加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成. 2.乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即依次完成每一步骤，此事才能完成.

考点 59：排列

（1）定义：从 n 个不同的元素里，任取 )1( nmm  个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从 n 个不同元素里取出 m 个元素的一个排列. 从 n 个不同的元素里，任取 )1( nmm  个元素的所有排列的个数，叫作从 n 个不同元素里取出 m 个元素的排列数，记为 m nA ，当 nm  时的排列称为全排列，其排列总数记为 n nA . （2）排列数计算公式

)1()2)(1(  mnnnnAm n  . 2. !12)2)(1( nnnnAn n   .

考点 60：组合

（1）定义：从 n 个不同的元素里，任取 )1( nmm  个元素组成一组，叫作从 n 个不同元素里取出 m 个元素的一个组合. 从 n 个不同的元素里，任取 )1( nmm  个元素的所有组合的个数，叫作从 n 个不同元素里取出 m 个元素的组合数，记为 m nC . （2）组合数计算公式

)!(! ! ! )1()2)(1( mnm n m mnnnn A A C m m m nm n      . 2. mn n m n CC   .

考点 61：随机事件的概念

（1）样本空间：样本点的全体构成的集合，样本空间的元素是试验 E 的每个结果. （2）随机事件：在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，记作 CBA ,, 或 21, AA . （3）事件：试验 E 所对应的样本空间  的子集为 E 的一个随机事件. （4）基本事件：样本空间  仅包含一个样本点  的单点子集    也是一种随机事件，这种事件称为基本事件. （5）必然事件：样本空间  包含所有的样本点，它是  自身的子集，在每次试验中它总是发生.

考点 62：随机事件的关系与运算

（1）事件的包含与相等设 BA, 为两个事件，若 A 发生必然导致 B 发生，则称事件 B 包含事件 A ，或称事件 A 包含在事件 B 中， 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 26 / 30 记作 AB  或 BA  .显然有：  A . 包含关系可用图形来表示，如图：若 BA  且 AB  ，则称 A 与 B 相等，记作 BA  . （2）和事件事件“ BA, 中至少有一个发生”为事件 A 与 B 的和事件，也称 A 与 B 的并，记作 BA  或 BA  .显然有：1） BAA  ， BAB  ；2）若 BA  ，则 BBA  . 和事件可用图形来表示，如图：（3）积事件事件“ BA, 同时发生”为事件 A 与事件 B 的积事件，也称 A 与 B 的交，记作 BA  ，简记为 AB .显然有：1） AAB  ， BAB  ；2）若 BA  ，则 AAB  . 积事件可用图形来表示，如图：（4）差事件事件“ A 发生而 B 不发生”为事件 A 与事件 B 的差事件，记作 BA  .显然有： 1） ABA  ；2）若 BA  ，则  BA . 差事件可用图形来表示，如图：（5）互不相容若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB ，则称事件 A 与事件 B 是互不相容的两个事件，简称 A 与 B 互不相容（或互斥），如图所示：（6）对立事件事件“ B 不发生”为事件 B 的对立事件（或余事件，或逆事件），记作 B .如图所示：若事件 A 与事件 B 中至少有一个发生，且 A 与 B 互不相容，即 BA  ， AB ，则称 A 与 B 互为对立事件. 显然有：1） AA  ； 2）  ，  ； 3） ABABABA  . （7）运算律 1）交换律: ABBA   ， ABBA   . 2）结合律: CBACBA  )()(  ， CBACBA  )()(  ； 3）分配律： )()()( CABACBA   ， )()()( CABACBA   ； 4）对偶律： BABA   ， BABA   .

考点 63：古典概型概述

2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 27 / 30 具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型： 1.基本事件的总数是有限的，换句话说样本空间仅含有有限个样本点； 2.每个基本事件发生的可能性相同. 设  为随机试验 E 的样本空间，其中所含样本点总数为 n ，A 为一随机事件，其中所含样本点数为 r ，则有：中样本点总数中样本点数   A n r AP )( ，也即基本事件总数所含的基本事件数A n r AP )(

考点 64：概率

（1）定义设  是随机试验 E 的样本空间，对于 E 的每个事件 A 赋予一个实数，记为 )( AP ，称 )( AP 为事件 A 的概率，如果它满足下列条件：

0)( AP ；
1)( P ； 3.设  ,,,, 21 mAAA 是一列互不相容的事件，则有       11 )()( k kk k APAP  . （2）性质
1)(0  AP ， 0)( P ； 2.对于任意事件 BA, 有 )()()()( ABPBPAPBAP  ，特别地，当 A 与 B 互不相容时， )()()( BPAPBAP  ；
)()()( ABPBPABP  ，特别地，当 BA  时， )()()( APBPABP  ，且 )()( BPAP  ；
)(1)( APAP  ；
)()()( ABPAPBAP  ； 6.当 A 与 B 互不相容时， )()( BAPBAP  .

考点 65：条件概率的计算

已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，称为在事件 B 发生的条件下事件 A 的条件概率，记作 )( BAP . 设 BA, 是两个事件，且 0)( BP ，称 )( )( )( BP ABP BAP  ，为在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率.

考点 66：事件的独立性

（1）定义： )()()( BPAPABP  ，则称 A 与 B 相互独立，简称 BA, 独立. （2）性质 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 28 / 30 1.设 0)( AP ，则 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 )()( ABPBP  ； 2.若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 都相互独立； 3. )()()()( BPAPBAPBAP   .

考点 67：离散型随机变量

（1）随机变量：设 E 是随机试验，样本空间为  ，如果对于每一个结果（样本点）   ，有一个实数 )( X 与之对应，这样就得到一个定义在  上的实值函数 )( X ，称为随机变量.随机变量通常用 ZYX ,, 或 ,, 21 XX 来表示. （2）离散型随机变量的分布律设 X 为离散型随机变量，可能取值为 ,...,,...,, 21 kxxx 且 ，，， 2l}{  kpxXP kk ，则称  kp 为 X 的分布律（或分布列，或概率分布）. 用表格的形式来表示： X 1x 2x  kx  P 1p 2p  kp  其中第一行表示 X 的取值，第二行表示 X 取相应值的概率.

0kp ， ,2,1k ； 2. 1  n k kp . （3）离散型随机变量的几个常见分布
10  分布：若随机变量 X 只取两个可能值 0，1，且，， qXPpXP  }0{}1{ 其中 10  p ， pq  1 ，则称 X 服从 10  分布， X 的分布律为 X 0 1 P q p 2.二项分布：若随机变量 X 的可能取值 n,,1,0  ，而 X 的分布律为，，nkqpCkxPp knkk nk ...3,2,1,0,}{   其中 10  p ， 1 qp ，则称 X 服从参数为 n ， p 的二项分布，简记为 ),(~ pnBX . 3.泊松分布：设随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，…， n ，…，而 X 的分布律为 210}{ ,, ，ke k! λ kXPp λ k k   其中 0  ，则称 X 服从参数为  的泊松分布，简记为 )(~ PX . （4）分布函数：设 X 为随机变量，称函数  xXPxF )( ， ),( x 为 X 的分布函数. 分布函数的重要性质有：
1)(0  xF ； 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 29 / 30
)(xF 是不减函数，即对于任意的 21< xx 有 )()( 21 xFxF  ；
0)( F ， 1)( F ，即 1)(lim0)(lim =xF ，=xF x-x  ；
)(xF 右连续，即 )()(lim)0( 0 x=FxxFx+F x    . 分布函数与概率的关系：已知 X 的分布函数 )(xF ，可以求出下列重要事件的概率：
  )(bFbXP  ；
  )()( aFbFbXaP  ，其中 ba  ；
  )(1 bFbXP  .

考点 68：期望与方差

（1）离散型随机变量的期望：设离散型随机变量 X 的分布律为   kk pxXP  ， ,,2,1 k 则定义 X 的数学期望（简称均值或期望），记为 )( XE ，即    i ii pxXE )( . 下面介绍几种重要的离散型随机变量的期望

10  分布：设随机变量 X 的分布律，则 pppXE  1)1(0)( . X 0 1 P 1-P P 2.二项分布：设 ),(~ pnBX ，则有 npXE )( . 3.泊松分布：设 )(~ PX ，则有 )( XE . （2）期望的性质
ccE )( ，其中 c 为常数；
)()( XcEcXE  ；
)()()( YEXEYXE  . 这一性质可作如下推广： )()()( 2121 YEcXEcYcXcE  ，其中 1c ， 2c 为常数；一般地，设 nXXX ,,, 21  为 n 个随机变量，则有          n i i n i i XEXE 11 ，          n i ii n i ii XEcXcE 11 ，其中 ),2,1( ici 是常数. 4.若 X ， Y 是相互独立的随机变量，则 )()()( YEXEXYE  . （3）方差：设 X 为随机变量，若  2 )( XEXE  存在，则称它为随机变量 X 的方差，记作 )( XD ，即 2 )]()( XEXEXD  ，称  XD 为 X 的标准差（或均方差）.在计算方差时，用此公式有时更为简便： 22 )()( XEXEXD  ，即 X 的方差等于 2 X 的期望减去 X 的期望的平方. 2025 年成考专升本-高等数学（二）黄金考点汇编 30 / 30 下面介绍几种重要的离散型随机变量的方差 1.0-1 分布：设随机变量 X 的分布律 X 0 1 P 1-P P 2.二项分布：设 ),(~ pnBX ，则有 )1()( pnpXD  . 3.泊松分布：设 )(~ PX ，则有 )( XD . （4）方差的性质
0)( cD ， )()( XDcXD  ，其中 c 为常数；
)()( 2 XDccXD  ，其中 c 为常数；特别地， )()()1()( 2 XDXDXD  . 3.若 YX , 相互独立，则 )()()( YDXDYXD  ， )()()( YDXDYXD  .

高等数学（二）·黄金考点汇编

第一章 极限、连续